Lamentablemente, los navegadores modernos no admiten el uso de GIFs como favicon en la pestaña del navegador por razones de rendimiento y usabilidad. Lo que puedes hacer es usar un GIF para la versión de escritorio de tu sitio y tener un .ico alternativo para la versión de historial y de marcadores. Aquí te dejo un código de ejemplo que puedes usar:
HTML:
<link rel="icon" href="url_de_tu_imagen.gif" type="image/gif" sizes="16x16">
<link rel="alternate icon" href="url_de_tu_imagen_alternativo.ico" >
Solo asegúrate de reemplazar "url_de_tu_imagen.gif" y "url_de_tu_imagen_alternativo.ico" con las URL reales de tus imágenes. Recuerda que la mayoría de los navegadores ignorará el icono gif y usará el icono alternativo en su lugar.