Deberías conseguirte un servidor VPS en Contabo por ejemplo, comprar 2 Ips, instalar PowerMTA, instalar Mautic por ejemplo o MailWizz como manejador de correos y asegurate de que te configuren correctamente los correos para mejorar su entragabilidad. Ya luego podrás crear tareas Cron para disparar los envíos de confirmación de contraseña e historias, también podrías configurar el SMTP de tu sitio para que envíe directamente desde el VPS.
La verdad hoy en día es una tontería dejar tu mensajería a merced de empresas ajenas, en cualquier momento cambian la IP o la compartes con un spammer y te afectan.
Lo mejor es no tercerizar este proceso si ya tienes una web en donde la entregabilidad es critica para ti. En el caso que estes empezando y no manejes muchos volumenes de correo puedes hacerlo directamente con el sistema de correos de tu server con SMTP.
Suerte.