Puedes descargarte una copia de la base de datos, la cual deseas pasar a otro servidor, por medio de cpanel en la sección de Respaldos o también usando phpMyAdmin. Si usas cpanel, eso lo encuentras en la sección de bases de datos y lo de respaldos un poco más abajo me parece.
Lo que tienes que hacer es guardarte una copia de tu base de datos, y luego subirla usando el mismo método en tu otro servidor.
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lee esos temas a ver si te son de ayuda.