El conjunto de vectores en R ^ 3 de la forma (x, x, x) forma un espacio vectorial. Verifique que satisface las 10 propiedades de espacio vectorial para comprobar dicha afirmación.
¡Claro! Para verificar si el conjunto de vectores en $\mathbb{R}^3$ de la forma $(x,x,x)$ es un espacio vectorial, debemos revisar si cumple con las 10 propiedades de un espacio vectorial.
Sean $(x_1,x_1,x_1), (x_2,x_2,x_2), (x_3,x_3,x_3) \in \mathbb{R}^3$ y $k \in \mathbb{R}$, procedemos a verificar cada propiedad:
1. Clausura bajo la adición: $(x_1,x_1,x_1) + (x_2,x_2,x_2) = (x_1+x_2,x_1+x_2,x_1+x_2)$, que es de la forma $(x,x,x)$ y por tanto pertenece a $\mathbb{R}^3$.
2. Conmutatividad de la adición: $(x_1,x_1,x_1) + (x_2,x_2,x_2) = (x_1+x_2,x_1+x_2,x_1+x_2) = (x_2+x_1,x_2+x_1,x_2+x_1) = (x_2,x_2,x_2) + (x_1,x_1,x_1)$
3. Asociatividad de la adición: $(x_1,x_1,x_1) + ((x_2,x_2,x_2) + (x_3,x_3,x_3)) = (x_1,x_1,x_1) + (x_2+x_3,x_2+x_3,x_2+x_3)$ $= (x_1+x_2+x_3,x_1+x_2+x_3,x_1+x_2+x_3) = ((x_1,x_1,x_1) + (x_2,x_2,x_2)) + (x_3,x_3,x_3)$.
4. Existencia del vector cero: El vector $(0,0,0)$ es el vector nulo, y se cumple que $(0,0,0)+(x_1,x_1,x_1)=(x_1,x_1,x_1)$.
5. Existencia del opuesto aditivo: Dado $(x,x,x) \in \mathbb{R}^3$, su opuesto aditivo es $(-x,-x,-x) \in \mathbb{R}^3$, ya que $(x,x,x)+(-x,-x,-x) = (0,0,0)$.
6. Clausura bajo la multiplicación por un escalar: $k(x,x,x)=(kx,kx,kx) \in \mathbb{R}^3 $.
7. Identidad multiplicativa: $\mathbb{1}(x,x,x)=\mathbb{1}(x,x,x)=(x,x,x)$.
8. Asociatividad de la multiplicación: $(k_1k_2)(x,x,x) = k_1(k_2(x,x,x))$.
9. Distributividad de la multiplicación sobre la suma de escalares: $(k_1+k_2)(x,x,x)=k_1(x,x,x)+k_2(x,x,x)$.
10. Distributividad de la multiplicación de escalares sobre la suma de vectores: $k((x_1,x_1,x_1)+(x_2,x_2,x_2))=k((x_1+x_2,x