¿Cómo hacer funcionar un formulario de contacto en HTML?

<!-- Container (Contact Section) -->
<div id="contact" class="container-fluid bg-grey">
  <h2 class="text-center">Contacto</h2>
  <div class="row">
    <div class="col-sm-5">
      <p>Contact us and we'll get back to you within 24 hours.</p>
      <p><span class="glyphicon glyphicon-map-marker"></span> Chicago, US</p>
      <p><span class="glyphicon glyphicon-phone"></span> +00 1515151515</p>
      <p><span class="glyphicon glyphicon-envelope"></span> [email]myemail@something.com[/email]</p>
    </div>
    <div class="col-sm-7 slideanim">
      <div class="row">
        <div class="col-sm-6 form-group">
          <input class="form-control" id="name" name="name" placeholder="Name" type="text" required>
        </div>
        <div class="col-sm-6 form-group">
          <input class="form-control" id="email" name="email" placeholder="Email" type="email" required>
        </div>
      </div>
      <textarea class="form-control" id="comments" name="comments" placeholder="Comment" rows="5"></textarea><br>
      <div class="row">
        <div class="col-sm-12 form-group">
          <button class="btn btn-default pull-right" type="submit">Send</button>
        </div>
      </div>
    </div>
  </div>
</div>

<?php
if(isset($_POST['email'])) {

// Debes editar las próximas dos líneas de código de acuerdo con tus preferencias
$email_to = "destinatario@sudominio.com";
$email_subject = "Contacto desde el sitio web";

// Aquí se deberían validar los datos ingresados por el usuario
if(!isset($_POST['first_name']) ||
!isset($_POST['email']) ||
!isset($_POST['comments'])) {

echo "<b>Ocurrió un error y el formulario no ha sido enviado. </b><br />";
echo "Por favor, vuelva atrás y verifique la información ingresada<br />";
die();
}

$email_message = "Detalles del formulario de contacto:\n\n";
$email_message .= "Apellido: " . $_POST['last_name'] . "\n";
$email_message .= "E-mail: " . $_POST['email'] . "\n";
$email_message .= "Comentarios: " . $_POST['comments'] . "\n\n";


// Ahora se envía el e-mail usando la función mail() de PHP
$headers = 'From: '.$email_from."\r\n".
'Reply-To: '.$email_from."\r\n" .
'X-Mailer: PHP/' . phpversion();
@mail($email_to, $email_subject, $email_message, $headers);

echo "¡El formulario se ha enviado con éxito!";
}
?>

<?php 

$errores = '';
$enviado = '';

if (isset($_POST['submit'])) {
	$nombre = $_POST['nombre'];
	$correo = $_POST['correo'];
	$mensaje = $_POST['mensaje'];

	if (!empty($nombre)) {
		$nombre = trim($nombre);
		$nombre = filter_var($nombre, FILTER_SANITIZE_STRING);
	} else {
		$errores .= 'Por favor ingresa un nombre <br />';
	}

	if (!empty($correo)) {
		$correo = filter_var($correo, FILTER_SANITIZE_EMAIL);

		if(!filter_var($correo, FILTER_VALIDATE_EMAIL)){
			$errores .= 'Por favor ingresa un correo valido <br />';
		}
	} else {
		$errores .= 'Por favor ingresa un correo <br />';
	}

	if(!empty($mensaje)){
		$mensaje = htmlspecialchars($mensaje);
		$mensaje = trim($mensaje);
		$mensaje = stripslashes($mensaje);
	} else {
		$errores .= 'Por favor ingresa el mensaje <br />';
	}

	if(!$errores){
		$enviar_a = 'tunombre@tuempresa.com';
		$asunto = 'Correo enviado desde miPagina.com';
		$mensaje_preparado = "De: $nombre \n";
		$mensaje_preparado .= "Correo: $correo \n";
		$mensaje_preparado .= "Mensaje: " . $mensaje;

		//mail($enviar_a, $asunto, $mensaje_preparado);
		$enviado = 'true';
	}

}

require 'index.view.php';

?>

<form action="<?php echo htmlspecialchars($_SERVER['PHP_SELF']); ?>" method="post">
			<input type="text" class="form-control" id="nombre" name="nombre" placeholder="Nombre:" value="<?php if(!$enviado && isset($nombre)) echo $nombre ?>">

			<input type="text" class="form-control" id="correo" name="correo" placeholder="Correo:" value="<?php if(!$enviado && isset($correo)) echo $correo ?>">

			<textarea name="mensaje" class="form-control" id="mensaje" placeholder="Mensaje:"><?php if(!$enviado && isset($mensaje)) echo $mensaje ?></textarea>

			<?php if (!empty($errores)): ?>
				<div class="alert error">
					<?php echo $errores; ?>
				</div>
			<?php elseif($enviado): ?>
				<div class="alert success">
					<p>Enviado Correctamente</p>
				</div>
			<?php endif ?>

			<input type="submit" name="submit" class="btn btn-primary" value="Enviar Correo">
		</form>