Primero de todo, ¿cúal era tu shared hosting y qué tenía instalado? Segundo, ¿qué hay en tu nuevo VPS: centos, debian, apache, nginx, mysql, mariadb, memchached, varnish,...? ¿Tienes un panel instalado cPanel, VestaCP, Webmin, Centminmod,...? ¿usabas https en tu web?
Lo segundo, si hay algo que va mal, el sysmanager contratado debe revisar y comprobar hasta que esté todo ok tras la migración.
Puede ser cualquier cosa, no solamente la conexión a la base (que puede ser lo más probable). Si te lleva a install y no hay error de conexión quiere decir que el servicio mysql/mariadb* está activo.
Ese fallo puede estar en una mala configuración del virtualhost o el httpd.conf, mala configuración del htaccess, datos incorrectos en el wp-config.php (comprueba que coincide sobretodo el prefijo de la table), y algún problema con las tablas de wp (wp_commentmeta y wp_postmeta suelen dar problemas con los carácteres). A veces, con optimizar y luego reparar la tabla desde phpmyadmin basta. Como tienes acceso por ssh en digitalocean, puedes hacerlo de forma general para todo con tu usuario de root:
Insertar CODE, HTML o PHP:
mysqlcheck --optimize --all-databases
y luego
Insertar CODE, HTML o PHP:
mysqlcheck --repair --all-databases
Si todo esto está ok, lo que dicen los demás users, borrar la carpeta correspondiente al plugin caché que estabas utilizando (en el caso del w3t, borrar también los archivos fuera de la carpeta plugins, db.php y advanced-cache.php).
Espero que sirva de utilidad y se resuelva el problema, un saludo!