Armazenar o Hash da senha completo?

Estoy desarrollando un proyecto nuevo y siempre me ha surgido la duda en relación al Hash de la contraseña y su almacenamiento.

Al general el Hash el mismo devuelve el cifrado usado (ej. $2y$10 ) y el salt (ej. $1234567890123456789012), seguido del cifrado en sí.

La cuestión es que si alguien accede al Hash devuelto, sabrá que tipo de cifrado se usó, el coste y el salt, por lo que no debería de ser complicado obtener la contraseña por fuerza bruta. Por eso mi cuestión es saber si debería almacenar el Hash completo o en caso contrario, almacenar la porción después del salt.

Te refieres a proteger la contraseña en caso de que tu base de datos quede expuesta?

Básicamente a cómo almacenarla, si debo guardar TODO el Hash devuelto (tipo de cifrado, salt y el hash) o sólo la parte relacionada con el Hash y eliminar el resto.