O site que me linka tem o mesmo h1 e title que o meu site, como isso afeta?

Una web con mayor autoridad que la mía, apunta con un enlace follow a una página de mi web.
Ambas páginas tienen el mismo h1 y title. El anchor del backlink es mismo que el h1.

¿A quién estoy dando ventaja en posicionar esa palabra clave? a mí, o a quien me enlaza?

Si tiene mayor autoridad que tu, debería beneficiar. En las serps, quien esta arriba?

Sí la otra web está enlazando a la tuya, siempre te beneficiará a ti. Más todavía si es competencia directa.