La transferencia de dominio la tiene que solicitar su empresa de hosting, en este caso hostgator.
Tienes que notificárselo y ellos iniciarán el tramite, depente de el TPL que tenga puede tardar más o menos, también es posible que se le solicite el código EPP del dominio, este código lo tiene que proporcionar el vendedor del dominio.
Otra cosa a tener en cuenta es que el vendedor debe desbloquear el dominio para su traspaso.
El vendedor se tendrá que poner en contacto con su empresa de hosting para asegurarse que el dominio está debloqueado.
Usted también puede ver si el dominio esta desbloqueado desde esta página web
WHOIS Service
Espero haberle servido de ayuda cualquier duda MP
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Otro aspecto a remarcar es que hostgator si que puede efectuar la migración completa del sitio web, para ello debería ponerse en contacto con ellos y ellos seguramente te pedirán los datos de acceso a la cuenta del vendedor, es decir el usuario y contraseña que el vendedor tenga para la administración del sitio web que se desea traspasar y ellos se encargarán de todo. No obstante en este caso es un poco mas complejo por que usted deberá proporcionar datos de acceso de la web del vendedor, deberá ponerse en contacto con el vendedor para que le facilite estos datos cosa que veo más tediosa.