Si nadamás vas a cambiar de hosting y no de dominio no hay problema con lo de SEO, no te afectará salvo que tu sitio quede caído mucho tiempo o que el hosting sea muy lento.
Lo que debes tomar en cuenta es respaldar el hosting, las bases de datos, y todo lo que puedas del sitio. Recuerda que nunca hay "demasiadas" medidas de precaución cuando estás haciendo algo que puede salir mal.
Pasas los archivos al nuevo hosting, te recomiendo conservar la misma estructura de carpetas que tenías para nadamás aventar los archivos vía FTP tal cual, y creas las bases de datos y todo y luego importas las DB, les pones su usuario y todo.
Ten cuidado de que el hosting nuevo tenga la misma dirección física en cuánto a carpetas, esto es algo que genera problemas muchísimas veces y me han pedido que lo repare muchísimas veces cuando es nadamás de fijarse que por ejemplo en tu viejo hosting tenías home/public_html/ y en el nuevo tienes home4/public_html nadamás por ese pequeño cambio algunos scripts pueden dejar de funcionar o cosas por el estilo.
Ya que tengas todo, cambia los DNS al otro hosting, es sumamente importante que cambies los DNS hasta que ya esté todo porque una vez cambiados si se te olvida algo cuando quieras entrar por FTP al hosting viejo te puede dar error ya que el sitio ya está apuntando al hosting nuevo.
Cualquier cosa mándame un MP acabo de hacer migración de todos todos mis sitios hace unos días y estoy muy al tanto de cosas que pueden surgir, al menos las más comunes 😀