No sabría decirte muy bien cómo funciona el tema de las DNS, pero digamos que es un sistema que "informa" dónde está albergada la página. Antes las dns que utilizabas pueden ser ns1.antiguoserver.com y la secundaria ns2.antiguoserver.com . Ahora, cuando contrates otro servidor, te mandarán un correo con las nuevas dns que deberás cambiar en tu antiguo servidor (generalmente desde el panel de control).
Estate tranquilo que la propagación de las dns es segura y no te va a suponer ningún problema.
Imagino que no tendrás problemas con acentos y signos de puntuación, siempre y cuando importes la base de datos con la misma codificación que tenías en el antiguo servidor (utf-8 o lo que sea).
Tampoco soy muy experto en estos temas, pero siempre he podido hacer una mudanza a base de ensayo y error. Si meto la pata en algún punto, espero que sepas perdonarme 😛