Lo primero te registras en uno de estos servicios. Dentro del servicio debes crear un repositorio (tendrías uno para cada uno de tus proyectos).
Después en tu equipo de desarrollo debes instalar git (si usas Ubuntu es un simple: sudo apt install git y si utilizas un linux basado en Redhat como Centos es sudo yum install git o sudo dnf install git). Desde la carpeta donde tengas el proyecto, y a través de comandos de git subirías tu primera versión al repositorio. Después con cada cambio y con otros comandos irías subiendo las modificaciones (que en git se llaman commits).
Cuando tuvieras la versión lista te irías al servidor de producción, instalas git y en la carpeta donde quieras alojar el proyecto haces un clon del repositorio con otro comando (git clone). A partir de ahí en ese servidor de producción solo tienes que ir actualizando (git pull).
Los editores de código como Visual Studio Code o PHPStorm suelen traer un módulo integrado para manejar git que te evita muchos de los comandos, pero normalmente en el servidor de producción uno no suele tener sino la línea de comando así que esos al menos sí que te los tienes que conocer.
Algunos sistemas utilizar el usuario y contraseña con el que te has dado de alta en el servicio para validarte a la hora de actualizar la versión, pero lo normal es hacerlo con certificados para que sea todo lo más automático posible.