Todo va en el sitio la prisa y la experiencia.
Migrar un sitio manualmente no tiene mucha magia, descarga del wp-content, la db cambias la url entras al admin y en enlaces permanentes le picas a guardar para actualizar las url y listo. Mucha gente suele omitir este ultimo paso (supongo es lo que paso en este caso).
Por plugin existen varios segun cuan dispuesto estes a pagar o a cual puedas tener acceso, pero AIO es un clásico, si el respaldo es muy grande se puede modificar el plugin o simplemente migrar por partes (por ejemplo una migracion de la db y otra de los archivos incluso una de plugins y thems y otra de multimedia mas la de la db). Personalmente para evitar problemas y no perder mucho tiempo prefiero mover archivo por ftp o similar y la db por el plugin.