Buenos días.
Mil usuarios al día no es una cifra extraordinaria, por lo que un servidor optimizado puede servirte.
Ahora bien, es necesario que, como sugieren más arriba, optimices la página web (tiempo de carga, minificación de archivos, caché, etc) y priorices sus aspectos relevantes.
En caso de que el cambio de proveedor resulte necesario, consulta primero con su plantilla de soporte para ver si pueden hacer ofrecerte el servicio tal como lo necesitas, de manera que tu inversión no se pierda en pocos meses (algunas veces el personal de soporte recomienda algunas características especiales para ti página, de forma que lo más aconsejable sea mudarte a un VPS).
Cualquier inquietud, no dudes en comunicarte.
Cordialmente,
AlbertoTB