Perdón que me meta, pero te voy a orientar un poco...
Eso se llama "Cliente de correo", y lo puedes solucionar...
Por ejemplo, con algún Script PHP, para leer correos...
Y añadirle funcionalidad, para leer y guardar lo que quieras...
si se puede exportar todo el correo y meterlo a una base de datos, lo puedes hacer programando usando alguna libreria en algun script que lea tus correos, tambien podrias descargar todo tu correo luego pasarlos al formato de la base de datos y importarla a la DB, lo puede hacer de muchas formas