Se puede hacer, en realidad hay reproductores HTML5 en el cual simplemente tienes que poner la URL del vídeo. Pero hay un problema. Si Dropbox detecta que estás haciendo un uso inadecuado de tu cuenta, por ejemplo, como hosting, te la pueden bloquear.
Exacto. Si dropbox se da cuenta de que estás usando tu cuenta para compartir con todo internet, pueden llegar a bloqueartela, por el uso abusivo del ancho de banda.