Resuelve este ejercicio para un parcial de la universidad , utilizando la transformada de Laplace para resolver los siguientes ejercicios. 1. CIRCUITOS RC Considere el siguiente circuito RC, donde R = 10Ω y C = 10−2F y suponga que la corriente inicial y la carga son cero. Encuentre la corriente i(t) en el circuito sí
a) E(t) = ( 100 V si 0.5 < t < 0.6
0 V en caso contrario
Para resolver este ejercicio utilizando la transformada de Laplace, primero debemos encontrar la función de transferencia del circuito RC. Podemos hacerlo utilizando las leyes de Kirchhoff y las propiedades de los elementos RC. La función de transferencia H(s) es la relación entre el voltaje de salida v(s) y el voltaje de entrada e(s):
H(s) = V(s) / E(s)
Para el circuito RC, podemos escribir la ecuación de la corriente i(t) y su transformada de Laplace I(s) de la siguiente manera:
i(t) + (1/RC) * ∫i(t) dt = (1/R) * e(t)
I(s) + (1/RC) * I(s) * (1/s) = (1/R) * E(s)
Reorganizando, podemos obtener la función de transferencia H(s):
H(s) = I(s) / E(s) = 1 / (1 + sRC)
Ahora, podemos aplicar la transformada inversa de Laplace para encontrar la corriente i(t). Para hacer esto, primero debemos encontrar la transformada de Laplace de la entrada E(s):
E(s) = 100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s)
Podemos usar tablas de transformadas de Laplace o el método de fracciones parciales para encontrar la transformada inversa de Laplace de H(s) y obtener la corriente i(t):
H(s) = 1 / (1 + sRC) = 1 / (1 + s * 10Ω * 10^-2F) = 1 / (1 + 0.1s)
Haciendo fracciones parciales, podemos expresar H(s) como:
H(s) = 1 / (1 + 0.1s) = -10 / (s + 10) + 10
Tomando la transformada inversa de Laplace, podemos obtener la corriente i(t):
i(t) = L^-1{H(s) * E(s)} = L^-1{(-10 / (s + 10) + 10) * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s))}
Podemos usar la linealidad de la transformada inversa para dividir la transformada inversa de Laplace en dos términos:
i(t) = L^-1{-10 / (s + 10) * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s))} + L^-1{10 * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s))}
Podemos usar la transformada inversa de Laplace del término -10 / (s + 10) * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s)) para encontrar la solución de la primera parte de i(t):
L^-1{-10 / (s + 10) * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s))} = -1000 * (e^-10t - e^-6t) u(t - 0.6)
Donde u(t) es la función escalón unitario.
Finalmente, podemos usar la transformada inversa de Laplace del término 10 * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s)) para encontrar la solución de la segunda parte de i(t):
L^-1{10 * (100 / s * (e^-0.5s - e^-0.6s))} = 1000 * (e^-5t - e^-6t) u(t - 0.6)
Por lo tanto, la solución completa de i(t) es:
i(t) = -1000 * (e^-10t - e^-6t) u(t - 0.6) + 1000 * (e^-5t - e^-6t) u(t - 0.6)
Esta es la corriente i(t) en el circuito RC para la entrada E(t) dada.