Para encontrar las ecuaciones simétricas de una recta que pasa por dos puntos, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Hallar un vector director de la recta, calculando la resta entre los vectores que representan cada uno de los puntos. Es decir:
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V = (9 - 7, 3 - 9, -8 - (-8)) = (2, -6, 0)
2. Utilizando un punto cualquiera de la recta (en este caso se puede elegir cualquiera de los dos puntos dados), se escribe la ecuación vectorial de la recta:
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P = (7, 9, -8)
r(t) = P + tV
r(t) = (7, 9, -8) + t(2, -6, 0)
r(t) = (7 + 2t, 9 - 6t, -8)
3. A partir de la ecuación vectorial, se pueden obtener las ecuaciones paramétricas igualando cada componente a una expresión que depende de un parámetro t:
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x = 7 + 2t
y = 9 - 6t
z = -8
4. Finalmente, se pueden escribir las ecuaciones simétricas de la recta, eliminando el parámetro t de las ecuaciones paramétricas:
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(x - 7) / 2 = (y - 9) / -6 = (z + 8) / 0
Cabe destacar que la última fracción no es una división por cero, sino que es una forma de expresar que la coordenada z no depende del parámetro t, ya que su componente en V es 0. Es importante señalar también que se utiliza una fracción con denominador 0 para reflejar el hecho de que la coordenada z es constante, y esta ecuación no es considerada como una verdadera ecuación en su forma normal. Por lo tanto, las ecuaciones simétricas de la recta son:
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(x - 7) / 2 = (y - 9) / -6
Es posible eliminar la fracción negativa multiplicando ambos lados por -1, quedando:
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(x - 7) / 2 = (9 - y) / 6
Y también es posible reordenar la ecuación y multiplicar ambos lados por 6, lo que da como resultado:
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3x - 21 = 6(9 - y)
3x - 6y = 57
x - 2y = 19
Cualquiera de estas representaciones es válida para las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos (7, 9, -8) y (9, 3, -8).