resuelvelo usando la transformada de Laplace para resolver los siguientes ejercicios
1. CIRCUITOS RC
Considere el siguiente circuito RC, donde R = 10Ω y C = 10−2F
y suponga que la corriente y carga inicial son cero. Encuentre la corriente i(t) en el
circuito si
a) E(t) = ( 100 V si 0.5 < t < 0.6
0 V en otro caso
Para resolver este problema utilizando la transformada de Laplace, primero escribimos la ecuación diferencial que rige el circuito RC. Para esto, aplicamos la ley de Kirchhoff y obtenemos:
$$\frac{1}{C} q(t) + R \frac{d}{dt} q(t) = E(t)$$
donde q(t) es la carga en el capacitor en el tiempo t y E(t) es la fuerza electromotriz aplicada al circuito.
Luego, aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación y utilizamos las propiedades de la transformada de Laplace para obtener:
$$\frac{Q(s)}{C} + R s Q(s) = E(s)$$
donde Q(s) y E(s) son las transformadas de Laplace de q(t) y E(t), respectivamente.
Resolviendo para Q(s), obtenemos:
$$Q(s) = \frac{E(s)}{s R C + 1}$$
y aplicamos la transformada inversa de Laplace para obtener la solución en el dominio del tiempo:
$$q(t) = \mathcal{L}^{-1} \{Q(s)\} = \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{E(s)}{s R C + 1}\right\}$$
Para la función de voltaje E(t) dada por el problema tenemos:
$$E(t) = 100 u(t - 0.5) - 100 u(t - 0.6)$$
donde u(t) es la función escalón unitario.
Por lo tanto, su transformada de Laplace es:
$$E(s) = 100 \frac{e^{-0.5s}}{s} - 100 \frac{e^{-0.6s}}{s}$$
Aplicando esto a la solución para q(t):
$$q(t) = 100 \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{e^{-0.5s}}{s R C + 1}\right\} - 100 \mathcal{L}^{-1} \left\{\frac{e^{-0.6s}}{s R C + 1}\right\}$$
Utilizando una tabla de transformadas de Laplace y la propiedad de cambio en el eje s, podemos obtener la solución en el dominio del tiempo:
$$q(t) = 100 \left(1 - e^{-(t - 0.5) / \tau}\right) u(t - 0.5) - 100 \left(1 - e^{-(t - 0.6) / \tau}\right) u(t - 0.6)$$
donde $\tau = RC = 10^{-1}$ segundos es la constante de tiempo del
