¿Cómo hacer sitios web responsivos sin Bootstrap?

La grid de Bootstrap está bastante bien, para qué perder el tiempo en otra cosa?

Lo que necesitas es un "grid system" podrías hacerlo tú mismo, buscar algún proyecto en github específico de grid system o extraerlo de algún framework como bootstrap o bulma por ejemplo (No es necesario que utilices todo el framework).

Me parece que el sitio de bootstrap 3.3.7 te permite customizar esto. De igual forma te recomiendo aprender sass y webpack.
Con esto entenderías mejor a lo que me refiero y muy buenos resultados en tus proyectos para frontend.

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Usa bootstrap y puedes ver material en Bootstrap 3 Tutorial para aprender sobre el tema